Gutta cavat lapidem (La goccia scava la pietra)

Lo Spazio-Tempo

di Giancarlo Pigozzi

 

Come va inteso lo spazio-tempo dopo il 1905

Questo breve articolo vuole essere una semplice spiegazione dei concetti fondamentali della relatività speciale, così come Einstein la formalizzò nel famoso articolo apparso nel 1905 “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”.

Innanzi tutto bisogna dire che il panorama della fisica di fine ottocento rivelava già le difficoltà dei concetti di spazio e tempo assoluti di Newton; in particolare si può pensare all’esperimento di Michelson, alla contrazione del lunghezze scoperta da Lorentz e alle teorie di Poincarè il quale già stava enunciando il principio di costanza della velocità della luce nel vuoto. Su un’altra strada stava procedendo Einstein, indipendentemente dal mondo accademico del suo tempo (lui lavorava all’ufficio brevetti al momento dell’articolo), il quale tentava di uscire da certe difficoltà che sorgevano nel conciliare la teoria elettrodinamica di Maxwell la quale provocava certe asimmetrie che gli stavano strette come ci rivela lui stesso all’inizio dell’articolo:

«It is known that Maxwell’s electrodynamic – as usually understood at the present time – when applied to moving bodies, leads to asymmetries wich do not appear to be inherent in the phenomena»

È inoltre noto un episodio, narrato da Abram Pais nella sua biografia di Einstein, “Sottile è il signore”, in cui Einstein intervistato vari decenni dopo la pubblicazione del suo articolo rivelava di non ricordarsi se, al momento di ingegnare la sua teoria, era al corrente del fallimento dell’esperimento di Michelson e Morley per rivelare il movimento della Terra nel presunto etere. Il fatto in questione è significativo perché rivela la tendenza di Einstein a formulare le sue idee su basi puramente logico-deduttive, indipendentemente dagli esperimenti; sono infatti famosi I suoi “esperimenti mentali”. Passiamo ora ad esaminare in dettaglio la teoria della relatività ristretta, la quale si occupa esclusivamente di trattare sistemi di riferimento in moto uniforme, lontano da qualsiasi tipo di perturbazioni esterne come possono essere I campi gravitazionali. I concetti sono enormemente semplici e tutti I fenomeni relativistici possono essere dedotti matematicamente esclusivamente dai due postulati principali:
1.
 La velocità della luce nel vuoto è costante, indipendentemente dall’osservatore inerziale che la misura;

2. Le leggi della natura devono potersi esprimere nella stessa forma per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme relativo tra loro (osservatori inerziali).

Una volta presupposto ciò possiamo ricavare tutte le fondamentali e più note conseguenze. Innanzitutto vediamo che le trasformazioni di Galileo che legano osservatori inerziali tra loro nella meccanica classica sono inconciliabili con I 2 postulati della relatività.

  x’=x+wt
t’=t
v’=v+w

Dove “w” è la velocità del sistema di riferimento X’ in moto relativo al riferimento X. Infatti se consideriamo un emettitore si luce solidale col riferimento X’ il quale si muove a velocità w rispetto a X fermo, quando il fotone di luce è emesso l’osservatore nel riferimento X’ rivelerà una velocità della luce pari a c, e questo è corretto, ma l’osservatore nel riferimento X vedrà , secondo la formula di Galileo, la luce muoversi a velocità w+c>c il che va contro il primo postulato della relatività. Dobbiamo quindi assumere che il fatto che c deve essere costante sia per X che per X’ ci obbliga a dover cercare delle nuove trasformazioni che leghino le coordinate spazio e tempo misurate in un riferimento con quelle di un altro sistema che si muove rispetto al primo di moto rettilineo e uniforme. Che caratteristiche matematiche principali devono avere queste nuove trasformazioni che cerchiamo? Se pensiamo allo spazio-tempo come un grafico cartesiano in cui lo spazio è l’ascissa e il tempo l’ordinata (convenzione contraria a quella della meccanica ordinaria, ma è solo una convenzione senza nessun significato fisico!) ci accorgiamo che I moti rettilinei uniformi sono descritti da rette, per ogni riferimento (x,t):

X-vt=0

Le trasformazioni che cerchiamo ovviamente devono trasformare moti rettilinei uniformi in moti rettilinei uniformi, e le trasformazioni che mandano rette in rette sono le trasformazioni lineari; quindi abbiamo assodato il fatto che le nostre trasformazioni devono essere lineari. Questo è già un gran passo avanti perché in questa ipotesi è contenuto il secondo postulato che dice che le leggi della fisica devono essere le stesse per I due riferimenti (in realtà per tutti riferimenti!) e tutti devono descrivere questi moti con delle rette. Traduciamo matematicamente ora la condizione che la luce viaggi a velocità c rispetto ad entrambi I riferimenti (si pone per semplicità c=1 a costo di misurare I tempi in metri: 1secondo = 1metro “tempo”):

x’± t’=0 se e solo se x± t=0

E questo è possibile se

x’± t’= l ± (w)( x± t)

Dove le l ± sono a priori dipendenti dalla velocità con cui X’ si muove rispetto a X. Da queste due equazioni ricaviamo (x’,t’) in funzione I (x,t) ottenendo

t’=a(t-wx)
x’=a(x-wt)

Dove a è un nuovo coefficiente dipendente linearmente dalle l ± ; ora imponiamo che fisicamente che una trasformazione L con velocità w sia equivalente alla trasformazione con w inversa, cioè

L-w =Lw-1

Facendo i calcoli si ricava che

A:= g =1/ Ö 1-w2/c2

Ora è riapparso c perché questa è la forma che di solito si dà a tale coefficiente. Scriviamo dunque il risultato, che sono le trasformazioni di Lorentz:

  t’= g (t-wx/c2)
x’=g (x-wt)

Ora analizziamo cosa comportano fisicamente queste nuove trasformazioni di coordinate. La prima cosa è che il tempo di un riferimento non è più, come per Galileo, lo stesso dell’altro; come conseguenza di ciò si ha che il tempo nel sistema X’ scorre in modo diverso da quello di X e tra i due tempi vale la relazione t=g t’. Un modo brillante per ricavarlo è quello di descrivere il moto di un orologio a specchio in cui un emettitore E di luce fa partire un raggio che viene riflesso da uno specchio S a distanza L’ e che poi ritorna all’emettitore:


Chiamiamo questo riferimento K’ e mettiamolo in moto rettilineo uniforme con velocità u rispetto ad un riferimento solidale con un osservatore fisso K. K osserverà il percorso del raggio di luce così:
Visto da K la luce percorre a velocità c il tratto 2L (andata e ritorno dallo specchio:Eà Sà E) e sussiste la relazione cD t’=2L. Invece l’osservatore fermo a terra K vede uno spazio di percorrimento della luce maggiore ma sempre alla stessa velocità c:

L=(L’2+u2D t2/4)1/2 = 2(D t’2+ u2D t2/c2)1/2

Ricavando D t da questa equazione otteniamo quello che volevamo dimostrare:

D t =(1- u2/c21/2D t’ = g D t’

cioè il tempo del riferimento mobile K’, misurato da K scorre più lentamente! Questo è il noto fenomeno della dilatazione temporale cui sono soggetti solo corpi che viaggino ad una velocità prossima a quella della luce; infatti è importante notare che se la velocità u è trascurabile in confronto a c, cioè u/c<<1, allora g =1 con ottima approssimazione e non si ha contrazione, in più le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle di Galileo scoprendo così un importante fatto, che LA MECCANICA RELATIVISTICA SI RIDUCE A QUELLA NEWTONIANA SE LA VELOCITA’ DEI CORPI IN GIOCO E’ DI MOLTO INFERIORE ALLA VELOCITA’ DELLA LUCE.

Siccome tutti gli esperimenti di meccanica classica svolti nei secoli fino all’ottocento coinvolgevano velocità irrisorie rispetto a quella della luce possiamo dire che Newton aveva ragione! Un osservazione fondamentale però è necessario fare: l’orologio in K’, visto dal riferimento mobile K’, va allo stesso ritmo di quello in K, visto dal riferimento K; ed è solo il ritmo di un orologio in K’, misurato dall’osservatore in K, a variare! Un osservatore in moto su K’ non si accorgerà di niente, lui vedrà scorrere il SUO tempo allo stesso ritmo di quando è a terra. Una seconda osservazione è di carattere più filosofico: notate che il primo postulato è quello veramente nuovo, perché il principio d’inerzia (secondo postulato) valeva già in meccanica classica. Quindi è notevole come l’aggiunta di una sola condizione in più (costanza della velocità della luce) modifichi radicalmente le concezioni dei fenomeni cinematici!

PRINCIPIO D’INERZIA (CLASSICO)+ COSTANZA DELLA VELOCITA’ DELLA LUCE = RELATIVITA’ SPECIALE

Quello che è ancora più sconvolgente come novità è che due eventi “contemporanei” per un osservatore inerziale non sono più “contemporanei” per un altro osservatore in moto relativo ad esso. Anzi il concetto di contemporaneità stesso, riferito a due osservatori inerziali diversi, non ha più senso ma ha senso solo parlare di intervalli di tempo misurati dai singoli osservatori. Che un evento avviene nello stesso istante di un altro è un’affermazione insensata. Per capire questo fatto cruciale è inutile, a mio parere, tentare di pensare come potervi comunicare ad un osservatore in moto che tempo si sta misurando usando la sincronizzazione degli orologi, perché c’è un modo molto semplice di vederlo, ed è quello di usare i soliti diagrammi x-t. Per farlo però dobbiamo rappresentare in uno stesso grafico sia gli assi (x,t) che quelli (x’,t’); le due origini dovranno coincidere e gli assi primati non saranno più ortogonali nel senso euclideo, ma saranno sempre rette inclinate rispetto agli assi originari: questo è quello che geometricamente dicono le trasformazioni di Lorentz. Immaginiamo ora un evento S con coordinate (XS,TS) nel riferimento K e (X’S, T’S) nel riferimento K’; è lo stesso evento visto da due riferimenti diversi. Analogamente per un secondo evento S1 avremo analoghe coordinate. Supponiamo che nel riferimento K i due eventi siano contemporanei (in un riferimento fissato ha senso parlare di contemporaneità); si vede a colpo che questi eventi ,come misurati da K’, non lo sono più! Tutto quello che si può immaginare in relatività lo si può dedurre da questi semplici grafici.

Il secondo effetto collegato direttamente alle trasformazioni di Lorentz è la contrazione delle lunghezze. La si potrebbe ottenere con un ragionamento analogo a quello di prima sugli orologi a specchio (ruotando quello di prima di 90 gradi e mettendolo in moto), ma ora ne scelgo uno più diretto che fa uso solo di manipolazioni matematiche delle trasformazioni. Consideriamo un evento S situato lungo l’asse x’ dell’osservatore K’ in moto rispetto a K:

Se l’unità spaziale per l’osservatore K’ è xS‘ come sarà vista la stessa unità dall’osservatore fermo K? Per questo particolare evento dobbiamo porre t’=0 e vedere cosa succede nelle trasformazioni:

x’= g (xS-wtS)
0=g (tS-wxS/c2) allora tS=wxS/ c2

Sostituendo nella prima equazione si ha:

x’S = g xS(1- w2/c2) = g xSg -2 = g -1 xS

e perciò la relazione che cercavamo è la seguente:

x’= g -1xS

la quale ci dice che, poiché gamma è un numero minore di 1, K’ misura più breve l’unità di lunghezza per K rispetto alla sua, come a dire che K’ vede le normali lunghezze di K che vengono contratte. Notare che per la particolare dipendenza di gamma da w che l’effetto aumenta indefinitamente al crescere di w verso c, sì perché non abbiamo ancora detto (e lo giustificheremo più avanti) che un’altra conseguenza delle trasformazioni in gioco è che, poiché gamma deve essere una quantità reale, w deve essere minore strettamente di c; in particolare avviene che per particelle prive di massa la velocità massima raggiungibile è proprio c, mentre per particelle massive c è un limite irraggiungibile ed invalicabile. A parte questo fatto generale bisogna sempre tenere conto che, come nella dilatazione dei tempi, l’osservatore K non vede affatto gli oggetti del suo mondo contrarsi ma è K’ (che relativamente a lui vede K allontanarsi a velocità w) a misurare le unità di lunghezza di K più corte rispetto alle sue unità. Così le lunghezze misurate da K nel suo riferimento e quelle misurate da K’ nel suo riferimento hanno le stesse unità di misura e K non si accorgerà mai che le sue unità sono contratte!
Ora entriamo più in dettagli nell’analisi geometrica dello spazio-tempo che esce da questa descrizione della cinematica. Sappiamo dalla ordinaria geometria euclidea, che viene insegnata fin dalle scuole elementari, che in un riferimento cartesiano la lunghezza di un segmento al quadrato è data dalla SOMMA dei quadrati delle singole coordinate (teorema di Pitagora), come appare evidente dal seguente grafico.

Visto che più sopra abbiamo usato grafici in cui al posto della Y compariva il tempo ci viene il sospetto che la nuova metrica dello spazio-tempo (x,t) possa essere S= x2+t2. Se così fosse dovremmo trovare che questa particolare metrica rimane invariata (cioè S è quello che si chiama un invariate metrico) sotto l’azione delle trasformazioni di Lorentz; purtroppo non è così, e quindi possiamo concludere che la geometria dello spazio tempo non è euclidea; questo può sembrare sconvolgente se pensate che l’aggiunta della sola coordinata temporale alle tre dimensioni spaziali in aggiunta al primo postulato ha modificato in maniera radicale la geometria dello spazio tempo. Ora dobbiamo vedere (x,y,z,t) come le grandezze che descrivono i fenomeni e la lunghezza di un evento, cioè la sua distanza dall’origine degli assi nel grafico cartesiano usato prima, NON sarà misurata più con la stessa formula del teorema di Pitagora estesa a quattro dimensioni. Perché siamo sicuri che la metrica scritta sopra nella forma euclidea non può andar bene? Perché è necessaria una metrica che rimanga invariata sotto l’azione delle trasformazioni di Lorentz; questo appare chiaro se pensiamo ancora una volta al caso euclideo: qui ci sono delle trasformazioni che lasciano inalterata la forma della metrica, cioè le rotazioni: se nel sistema non ruotato la lunghezza di un segmento è data dalla radice della somma dei quadrati delle coordinate in tale riferimento, allora nel sistema ruotato la stessa lunghezza sarà ancora la radice della somma dei quadrati (quadrati di nuove distanze ora, cioè le coordinate rel riferimento ruotato). Così per analogia si dice che le trasformazioni di Lorentz sono “rotazioni” nello spazio tempo e la metrica che lasciano invariata è la seguente:

s2=c2t2-x2

Non sono però rotazioni come siamo abituati a pensare nel nostro spazio ordinario; infatti d’ora in poi bisogna pensare all’equivalenza “rotazione=lasciare invariata la metrica” ed è il lasciare invariata la metrica che caratterizza quelle che si chiamano rotazioni o meglio dette isometrie (iso=lasciare invariata, metria= la metrica). Le rotazioni dello spazio euclideo lasciano invariato il teorema di Pitagora: si dice che il teorema di Pitagora è invariante per rotazioni nello spazio euclideo. Queste cose sono banali a livello dell’intuizione che la geometria insegnata nelle scuole riesce a dare, ma la sua formulazione generale in base a proprietà metriche astratte è sempre un po’ difficoltosa finché non la si visualizza:

Così siamo arrivati a concludere che le trasformazioni di Lorentz lasciano invariata la metrica scritta sopra nel riquadro. Ora se nella geometria euclidea il teorema di Pitagora ha quella forma è perché usiamo coordinate ortogonali; nella nostra nuova geometria i sistemi inerziali sono i riferimenti “ortogonali” dello spazio-tempo cioè quelli sui quali, quando applichiamo le tresformazioni di Lorentz, la forma della metrica non cambia. Resta sempre da non confondere ortogonale nello spazio tempo relativistico con ortogonale nel caso euclideo, infatti nello spazio-tempo ortogonaler non significa ad angolo retto; due vettori euclidei sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo; in relatività due vettori (eventi) sono ortogonali se s è nullo, intendendo con s l’intervallo tra i due eventi calcolato con la nuova metrica dello spazio-tempo. Dobbiamo perciò intendere ora diversamente il concetto di lunghezza: in relatività la lunghezza tiene conto anche del tempo mentre in geometria euclidea no. Così un raggio di luce avrà lunghezza nulla nello spazio-tempo perché x/t=c e questa condizione annulla la s.
Passiamo ora a discutere l’aspetto della relatività per il quale Einstein è divenuto centro di controverse polemiche, cioè quello dell’equivalenza della massa con l’energia che porta alla formula nota a tutti E = mg c2, che quelli fuori dall’ambito scientifico citano a raffica senza il gamma e non si rendono conto perciò del significato profondo di questa equivalenza; proprio per questo ora cercheremo di chiarire ogni dubbio (mi rivolgo in particolare ai filosofi).
Mi rendo conto delle difficoltà che ora potranno sorgere nel trattare questo argomento perché ora il formalismo matematico si fa meno intuitivo e più lontano dalla preparazione delle scuole superiori, ma d’altro canto sono convinto che per fugare dubbi di principio sia meglio adottare una matematica il più possibile consona a quello che si sta dicendo (potrei spiegare le stesse cose in maniera più fisica e intuitiva ma il mio scopo è mostrare la potenza dello strumento matematico e della mente che lo ha utilizzato).

Per fare ciò dobbiamo definire che cos’è la LAGRANGIANA: in meccanica classica esiste un procedimento che ha basi teoriche molto profonde ma che permette di calcolarsi le equazioni del moto di punti materiali legati da qualsiasi tipo di forza (perché derivi da un potenziale) in maniera mnemonica e meccanica ed è quello di scrivere la Lagrangina del sistema e di combinarne opportunamente le sue derivate (le derivate sono passaggi elementari che chiunque sa fare dopo un liceo scientifico); la lagrangiana non è altro che la differenza tra l’energia cinetica e quella potenziale:

L(x,v)=T(v)-V(x)

espressa in funzione della coordinata spaziale x e della velocità v del punto materiale trattate come variabili indipendenti. Poi si definisce l’azione che è un funzionale sta volta, cioè agisce su delle funzioni producendo numeri (mentre la lagrangiana è una funzione scalare che prende vettori e li trasforma in numeri) come l’integrale sul tempo della lagrangiana espressa in funzione ora delle traiettorie x(t) e delle loro derivate dx(t)/dt:

S[x(t),v(t)]:=ò L(x(t),v(t))dt Î Â

Data in generale un’azione noi possiamo riprodurre le equazioni del moto col vantaggio che questa volta a produrle non è più un procedimento di derivazione come nella lagrangiana (che come noto dipende dalle coordinate scelte) ma un nuovo principio cioè il principio variazionale indipendente dalle coordinate scelte il quale dice che le traiettorie del moto sono quelle che rendono stazionaria l’azione cioè (come nello studio di funzioni per trovare i punti stazionari si uguaglia a zero la derivata) basta calcolare la derivata funzionale di S e porla uguale a zero:

d S/d t = o

e magicamente saltano fuori le stesse equazioni che si avevano con la lagrangiana con il vantaggio che ora stiamo lavorando indipendentemente dalle coordinate perché il fatto che questa derivata sia nulla in un sistema di riferimento implica che lo sia in qualsiasi altro cioè siamo in condizioni di porci una solida base per postulare la lagrangiana relativistica (sì perché quello che si fa effettivamente è POSTULARLA):
quello che si fa è partire dal principio di geometrizzazione del moto, un po’ come si è fatto all’inizio con le rette e le trasformazioni, cioè caratterizzare i moti liberi nello spazio tempo come quelle traiettorie che rendono stazionario un certo funzionale d’azione A; quale sarà A? A è proprio l’integrale di quello che prima abbiamo definito come l’invariante principale relativistico, cioè l’intervallo ds (questa volta dato in forma differenziale) con delle accortezze: per descrivere i moti nello spazio-tempo non si fa più come in meccanica classica dando le coordinate spaziali in funzione del tempo ma si danno le quattro coorinate spazio-temporali in funzione del tempo proprio s (cioè l’invariante metrico) cioè si dice che si dà una parametrizzazione del moto con il parametro naturale s legato al tempo da:

ds = cg -1dt

Ora in geometria si caratterizzano le rette come gli estremali di un certo funzionale che è proprio l’integrale in dt dell’enegria cinetica classica ovvero la lunghezza euclidea (infatti tra due punti nel piano euclideo passano infinite curve tra cui le rette sono quelle con lunghezza più corta); così si fa in relatività: si caratterizzano i moti rettilinei uniformi come gli estremali della lunghezza relativistica che abbiamo visto essere l’intervallo invariante cioè possiamo verificare che in effetti d A/d t=0 implica il moto rettilineo uniforme:

A = -mc2òÖ (1-v2/c2)dt

Ora per analogia con l’azione classica S di prima individuiamo quello che cercavamo la lagrangiana relativistica che sarebbe la funzione integrando:

Lrel (v) = -mc (1-v2/c2)

con la particolarità (propria solo dei moti rettilinei uniformi) che la L non dipende dalla posizione x, questo essendo il cosiddetto principio di isotropia dello spazio cioè lo spazio indifferentemente dalla posizione produce moti rettilinei uniformi per tutti quei punti non soggetti a forze. Ora abbiamo la lagrangiana; uno si chiede : dalla lagrangiana si calcolano le equazioni del moto, ma noi sappiamo già quali sono, allora che necessità c’era di trovare la lagrangiana? Il discorso è sottile e allo stesso tempo fondamentale infatti quello che si cerca di fare in una teoria è di sviscerarne il più possibile gli aspetti più generali e il principio d’azione è uno tra i più generali della fisica; con un principio del genere uno è in grado di stabilire proprietà invarianti degli enti che sta studiando e produrre generalizzazioni e confronti con altri formalismi.
Quello però per cui abbiamo calcolato L qui è per avere un’espressione dell’energia relativistica; una volta infatti che si ha L basta fare dei semplici calcoli dai quali si ricava direttamente l’energia totale relativistica senza fare discorsi sui moti delle particelle in analogia a qualli classici. Non diamo la giustificazione della formula ma diciamo solo che l’energia è:

E = pv-L(p,x)

dove p è il momento relativistico ed è

p = dL/dv = mg v2

Ora se si fa il calcolo esplicito di E si trova appunto mg c2 . Diciamo che se la velocità v è molto minore di c allora dobbiamo ricondurci all’energia classica e questo è quello che effettivamente accade però con una sorpresa: ci ritroviamo un termine aggiuntivo costante all’energia cinetica classica cioè la cosiddetta energia a riposo; questa energia è quella che ha una particella ferma non soggetta a forze e la cosa sconvolgente e nuova è che essa non è nulla come dovrebbe essere in meccanica classica! Questa energia è appunto mc2 dove non c’è il gamma ed è l’energia che una particella ferma ha, questa è facilmente convertibile in altre forme per produrre energia nucleare. Va osservata ora la questione fondamentale cioè che per una particella “ferma” noi dalla sua massa possiamo trarre energia senza metterla in moto (cosa che in fisica classica non era possibile) solo facendola collidere con altre particelle nel cui urto sparisce della massa e nasce dell’energia pura; poiché c’è di mezzo la velocità della luce al quadrato, che è dell’ordine di 1016, la conversione è molto alta e basta una piccolissima massa (per esempio dei protoni) per produrre un’energia osservabile e devastante. Ora dobbiamo rivedere il principio di conservazione dell’energia modificandolo rispetto a quello classico, dicendo che ora non è più solo la somma di T e V (energia potenziale) a conservarsi ma va aggiunta anche l’energia di massa a riposo per riequilibrare i bilanci delle reazioni nucleari; però l’espressione dell’energia totale di una particella relativistica è sostanzialmente diversa da quella classica e quindi non basta aggiungere letteralmente mc2 a T+V. L’espressione di tale energia per una particella di carica q immersa in un potenziale V è la seguente:

E = Ö (m2c4+p2c2)+qV(x)

dove p è il momento relativistico della particella.

.

BIBLIOGRAFIA:
– Einstein “Relatività:esposizione divulgativa”
– Halliday-Resnick-Krane “Fisica 1”
– Landau-Lifschitz “Teoria dei campi”
– Dubrovin-Novikov-Fomenko “Geometria contemporanea. vol. 1:geometria delle superfici dei gruppi di trasformazioni e dei campi”
– Benettin-Galgani-Giorgilli “Appunti di meccanica razionale”
– Einstein “On the electrodynamic of moving bodies” in “The principle of relativity”

 

  Giancarlo Pigozzi
Institut f. Angewandte Physik
Wolfgang-Pauli-Str. 16
ETH-Hönggerberg, HPT D 16
CH-8093 Zürich 
Phone: +41 1 633 21 42
E-Mail: pigozzi@iap.phys.ethz.ch

fonte: http://www.universofacile.net/articoli/spaziotempo.asp

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