Albrecht Dürer, La battaglia degli angeli, 1498.

Albrecht Dürer, La battaglia degli angeli, 1498.

“E avendo aperto il settimo sigillo, si fece silenzio nel cielo, quasi di mezz’ora. E vidi i sette angeli che stanno dinanzi a Dio; e furono date ad essi sette trombe“.(Apocalisse, VIII – 1)

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Sette, insieme al tre, è il numero sacro più diffuso nelle varie religioni. E’ collegato ai sette “pianeti”, cioè ai corpi che per gli antichi non avevano un posto fisso nel cielo: Sole, Luna, Venere, Giove, Marte, Mercurio e Saturno. Proprio per questo suo collegamento con il cielo, venne eletto a simbolo di saggezza e riflessione, ripreso nelle situazioni più diverse.

Nella Bibbia compare 424 volte. 
Nell’Apocalisse, in particolare, è un numero ricorrente:

E vidi nella destra di Lui che sedeva sul trono, un libro scritto di dentro e di fuori, e segnato con settesigilli”. (Apocalisse, V – 1)

Il mistero delle sette stelle che hai visto nella mia destra e i sette candelieri d’oro: le sette stelle sono i sette angeli della Chiesa e i sette candelieri sono le sette Chiese“. (Apocalisse, I – 20)

E vidi una bestia che saliva dal mare, che aveva sette teste e dieci corna, e sopra le sue corna dieci diademi e sopra le sue teste nomi di bestemmie” (Apocalisse, XIII – 1)

E il Signore disse a Noè:
Di tutti gli animali mondi ne prenderai a sette a sette, e maschio, e femmina; e degli animali immondi a due a due, maschio, e femmina.
E parimenti degli uccelli dell’aria a sette a sette, maschio e femmina: affinché se ne conservi la razza sopra la faccia della terra.
 (Genesi, VII, 2-3)

E’ scritto nel Vangelo: 
Perdona non 7 ma 70 volte 7 al tuo fratello” 
e dice un antico proverbio arabo: 
Prima di parlare gira sette volte la lingua in bocca“.  

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Il Kenneset Menorah, che si trova a Gerusalemme, di fronte al parlamento israeliano.

Il Kenneset Menorah, che si trova a Gerusalemme, di fronte al parlamento israeliano.

Il Menorah, è il candelabro a sette braccia, simbolo ebraico presente nelle case degli ebrei e nelle sinagoghe, sette braccia come i sette pianeti oppure, secondo un’altra versione, il sette sarebbe nato dall’unione dei quattro punti cardinali con altobasso e tempo. E il sabato, settimo giorno della settimana, è per gli ebrei il giorno del riposo.

Sono sette i cieli di Maometto e sette le parti in cui è diviso il suo Inferno.

I palazzi degli Assiri avevano tutti un’enorme torre a sette piani, ognuno dei quali dipinto con uno dei sette colori che rappresentavano i sette corpi celesti: bianco per Venere, nero per Saturno, porpora per Giove, blu per Mercurio, Vermiglio per Marte, Argento per la Luna e giallo oro per il Sole.

Sette sono i colli di Roma, i samurai, i nani di Biancaneve e i mari battuti dai pirati. E sette sono i principi dell’Inferno: Aziele, Ariele, Marbuele, Mefistofele, Barbuele, Aziabele e Arifele.

Sette sono le meraviglie della terra, i saggi dell’antichità e le stelle dell’Orsa Maggiore. Sette sono le piaghe dell’antico Egitto, i doni dello Spirito Santo, i sacramenti, i giorni della settimana e le note musicali. Sono sette anche le virtù, secondo la teologia cattolica: fede, speranza, carità, prudenza, giustizia, fortezza e temperanza e sette sono vizi o peccati capitali: superbia, avarizia, lussuria, ira, invidia, gola e accidia.

La cavalcata dei vizi, 1472, Chiesa di San Fiorenzo, Bastia Mondovì

La cavalcata dei vizi, 1472, Chiesa di San Fiorenzo,
Bastia Mondovì

L’eptacordo è uno strumento musicale a sette corde, in particolare l’antica lira greca.

Da Pasqua a Pentecoste ci sono sette settimane. Il “giro delle sette chiese” sono le chiese da visitare, per i fedeli, nel giorno del venerdì santo per ottenere l’indulgenza. E i pellegrini alla Mecca devono compiere settegiri attorno alla Kaaba.

Secondo l’articolo 85 della Costituzione Italiana, il Presidente della Repubblica è eletto per sette anni.

Le sette sorelle sono le grandi multinazionali del petrolio: Exxon (Esso) Mobil Gulf Socal (Chevron) Texaco Shell BP

Eptano è un idrocarburo della serie degli alcani, con sette atomi di carbonio, usato come solvente.

La guerra dei sette anni è il conflitto che contrappose Inghilterra e Prussia all’ Austria, la Francia e i loro alleati, tra il 1756 e il 1763.

7-Up è il nome di una bevanda inventata dagli americani negli anni venti e chiamata dapprima Bib-label Lithiate Lemon-Lime Soda.

sette duci, nell’armi cospicui,
disposti come li elesse la sorte,
crollan le lancie di Tebe alle porte.

Eschilo, I sette a Tebe

I sette pilastri della saggezza di Th. E. Lawrence
I sette impiccati è un racconto di L. N. Andreev
La porta dalle sette chiavi un romanzo giallo di Edgar Wallace

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Sette nel cinema

I primi film da ricordare sono quelli di 007, l’agente più famoso della storia del cinema.

I primi film da ricordare sono quelli di 007, l’agente più famoso della storia del cinema.

Altri titoli:
Biancaneve e i sette nani di Walt Disney
Sette spose per sette fratelli un musical di Stanley Donen
Seven un thriller di David Fischer
Sette anni in Tibet di Jean-Jacques Annaud
I magnifici sette di John Sturges
Sette ore di guai di Marcello Marchesi e Vittorio Metz, con Totò

I sette Samurai di Akira Kurosawa, con Toshiro Mifune, uno dei capolavori assoluti della storia del cinema.

I sette Samurai di Akira Kurosawa, con Toshiro Mifune, uno dei capolavori assoluti della storia del cinema.

I sette peccati capitali di Claude Chabrol
Sette uomini d’oro di Marco Vicario
I sette peccati di papà di Jean Boyer
Sette chili in sette giorni di Luca Verdone
Sherlock Holmes: soluzione al sette per cento di Herberth Ross
Sinbad: la leggenda dei sette mari di Patrick Gilmore, Tim Johnson

Il settimo sigillo è il titolo del capolavoro cinematografico di Ingmar Bergman.

Il settimo sigillo è il titolo del capolavoro cinematografico di Ingmar Bergman.

Sono sette i giocatori di una squadra di pallanuoto e una partita è divisa in 4 tempi di 7 minuti.
Sette sono le vertebre cervicali. 
Un gatto ha sette vite e gli stivali della favola sono quelli delle sette leghe.

Statisticamente, il numero preferito dalla maggior parte delle persone è il sette ed è anche il numero che viene più sovente menzionato se chiediamo un numero a caso. Proviamo inoltre a dire ad alta voce un numero e chiediamo poi a qualcuno di ripeterlo. In genere non ci sono difficoltà con numeri di quattro o cinque cifre. Poi le difficoltà aumentano, e la maggior parte delle persone arriva a ricordare, come massimo, un numero di sette cifre. 
Si può avere un’ulteriore verifica di questo limite facendo vedere a qualcuno un insieme di punti per un tempo molto breve, non superiore a un quinto di secondo. Se i punti sono più di sette si inizia a fare molti errori nel conteggio. La stessa cosa accade per un insieme di oggetti diversi. Se sono più di sette, non si ricordano più esattamente.

Nel gioco del lotto il 7 è la farfalla, nella cabala napoletana è il vaso da notte e nei Tarocchi il carro.
Il Settebello è il sette di danari o di quadri nel gioco della scopa o dello scopone.

L’Altopiano dei sette comuni, detto anche di Asiago, si trova nelle Prealpi venete.

L’Altopiano dei sette comuni, detto anche di Asiago, si trova nelle Prealpi venete.

I sette fratelli è un gruppo montuoso della Sardegna meridionale, formato da sette alte cime

I sette fratelli è un gruppo montuoso della Sardegna meridionale, formato da sette alte cime

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image017C’è una celebre filastrocca che ha per protagonista il sette:

As I was going to St. Ives
I met a man with seven wives.
Each wife had seven sacks,
Each sack had seven cats,
Each cat had seven kits;
Kits, cats, sacks and wives,
How many were going to St. Ives?

E quella che segue ne è la versione italiana, nata all’inizio del Novecento:

Per una strada che mena a Camogli
Passava un uomo con sette mogli
Ed ogni moglie aveva sette sacche
E in ogni sacco aveva sette gatte
Ed ogni gatta sette gattini
Fra gatti e gatte
E sacche e mogli
In quanti andavano, dite,
A Camogli?

Già nell’Antico Egitto c’era una filastrocca simile. La ritroviamo sul papiro di Rhind, che risale al 1650 a. C.:

Ci sono sette case e ogni casa ha sette gatti
Ogni gatto mangia sette topi
E ogni topo avrebbe mangiato sette spighe di grano
E ogni spiga avrebbe prodotto sette hekat di grano
Quale numero si ottiene aggiungendo case, gatti topi, spighe e Hekat?

Ripresa dal papiro egiziano, c’è anche la versione medioevale di Fibonacci, riportata nel suo celebre Liber abaci:

Septem vetulae vadunt Romam
quarum quaelibet, habet burdones 7
et in quolibet burdone sunt sacculi 7
et in quolibet sacculo panes 7
et quilibet panis habet cultellos 7
et quilibet cultellus habet vaginas 7.
Quaeritur somma omnium praedictorum.

Per la soluzione del problema posto dalle filastrocche si veda la lezione di Gemma Gallino e Stefania Serre, Logaritmi? perché no!:

image021Sette è la somma dei punti sulle facce opposte di un dado.

Sette è un numero primo, e precisamente il secondo numero del tipo di Mersenne, 2n – 1: 
23– 1 = 7

Inoltre è l’esponente del quarto numero di questo tipo: 
27 – 1 = 127.

Sette è l’unico numero intero che, aumentato di un’unità, sia uguale al doppio di un quadrato e il cui quadrato, sempre aumentato di un’unità, sia ancora uguale al doppio di un quadrato:
7 + 1 = 2 x 22
72 + 1 = 49 + 1 = 2 x 52

La somma dei primi sette numeri è un numero perfetto: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Infatti la somma dei divisori di 28 è ancora 28: 
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Sette è l’unico intero maggiore di 1 per il quale la somma dei divisori del suo cubo sia uguale a un quadrato: 
1 + 7 + 72 + 73 = 202

Sette è il quarto numero di una particolare successione di Lucas:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …

Sette è il numero dei lati del più piccolo poligono regolare, l’ettagono, che non è possibile costruire con riga e compasso e che non è quindi inscrivibile nel cerchio con costruzioni elementari. A dimostrare questa impossibilità fu Gauss alla fine del diciottesimo secolo. Il solido a sette facce è l’ettaedro.

I numeri ettagonali sono i numeri della successione 1, 7, 18, 34, 55, …
ottenuti dalle addizioni dei termini della successione 1, 6, 11, 16, 21, …

Alla fine non rimase che sette

22Il numero 73 939 133 è un numero speciale, è infatti l’unico numero primo di queste dimensioni che continui a produrre numeri primi quando, partendo dalla cifra delle unità semplici, si tolgono a una a una tutte le cifre. Alla fine rimane il numero primo 7.

Riportiamo, per curiosità, il criterio di divisibilità di un numero per 7, che pochi conoscono:

Un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra le decine e il doppio delle unità è divisibile per 7 oppure è uguale a zero.

Ad esempio, il numero 364 è divisibile per 7 perché le sue decine sono 36, il doppio delle unità è 8 e 36 – 8 = 28, un numero divisibile per 7.
Anche 147 è divisibile per 7, infatti 14 – 14 = 0.

Ci sono molti altri sistemi per verificare la divisibilità di un numero per 7.
Ne vediamo due, ripresi dal libro di Boris A. Kordemsky, il più celebre esperto di giochi matematici russo, The Moscow Puzzles, Penguin Books, 1972. Non ci risulta che sia stato tradotto in italiano
Si operi nell’aritmetica modulo sette, e si moltiplichi la prima cifra a sinistra del numero in esame per 3 aggiungendo poi la seconda cifra. Si moltiplichi il risultato per 3, aggiungendo la terza cifra e si prosegua fino a quando si arriva a sommare l’ultima cifra.

Vediamo, ad esempio, se il numero 48 916 è divisibile per 7

4 x 3 = 12
5 + 8 = 13
6 x 3 = 18
4 + 9 = 13
6 x 3 = 18
4 + 1 = 5
5 x 3 = 15
1 + 6 = 7
12 – 7 = 5
13 – 7 = 6
18 – 14 = 4
13 – 7 = 6
18 – 14 = 4

15 – 14 = 1

Quindi il numero è divisibile per 7.

Lasciamo a chi ci sta leggendo il compito di provare la validità di questo test:

a + 10b + 102c + … – ( a + 3b + 32c + …) è divisibile per 7?

Un altro criterio di divisibilità per 7 segue uno schema simile al precedente, ma opera sulle cifre da destra a sinistra, moltiplicando ogni volta per 5.

Verifichiamo, ad esempio, se il numero 37 184 è divisibile per 7.

4 x 5 = 20
6 + 8 = 14
0 x 5 = 0
0 + 1 = 1
1 x 5 = 5
5 + 7 = 12
5 x 5 = 25
4 + 3 = 7
20 – 14 = 6

14 – 14 = 0

12 – 7 = 5
25 – 21 = 4

Il numero 37 184 è quindi divisibile per 7.
Provare la validità di questo test.

Costruiamo la tabellina del 7 e vediamo di scoprirne alcune proprietà.

La tabellina del sette. Sono evidenziati i numeri palindromi, cioè i numeri che si possono leggere indifferentemente da sinistra a destra o viceversa.

La tabellina del sette. Sono evidenziati i numeri palindromi, cioè i numeri che si possono leggere indifferentemente da sinistra a destra o viceversa.

Quella che sembra una successione più o meno banale di numeri, rivela anche ad una prima superficiale indagine, regolarità e strutture insospettate.

Alcune caratteristiche risultano evidenti con la disposizione di figura, una tabella 10 x 10. Ad esempio la cifra costante delle unità su ogni colonna,

Sulle colonne, dall’alto in basso, la cifra delle decine diminuisce di 3, tenendo presente che quando la sottrazione non è eseguibile si aggiunge una decina.

Se si prosegue nell’indagine si possono scoprire infinite altre proprietà. 
Studiamo, ad esempio, i numeri palindromi che compaiono nella successione dei multipli. Per numeri palindromi, lo ricordiamo, si intendono i numeri che possono essere letti indifferentemente da destra a sinistra o da sinistra a destra.

Alcuni dei numeri che compaiono nella successione, se si prosegue nel calcolo dei multipli, sono i seguenti:

30

Questi e altri numeri, che si possono calcolare agevolmente con il computer, sono sufficienti per ricavare le proprietà di questi particolari numeri palindromi, multipli di 7. 
Il lettore è invitato a individuare le caratteristiche della struttura di questi palindromi e la regola che ne permette di determinarne, in generale, la posizione. 
Si prosegua poi l’indagine alla scoperta di altre proprietà.

A proposito dell’ettagono, riportiamo un problema di Hugo Steinhaus, dal suo libro Cento problemi di matematica elementare, uno dei più bei libri di problemi matematici per chi, senza essere matematico, ama la matematica.

14 = 15?

Nel 1952, in occasione delle Olimpiadi matematiche di Breslavia, J. Mikusinski dimostrò che si può suddividere il piano in ettagoni in modo che ogni vertice sia comune a tre di essi. Da questo dedurremo che 14 = 15. Per calcolare l’ampiezza media di un angolo del mosaico si può ragionare in due modi diversi. La somma degli angoli interni di un ettagono è 5 ( denota un angolo di 180°) e pertanto, in ognuno di tali poligoni, la media delle ampiezze degli angoli è 5  /7, dato che l’intero piano è coperto da ettagoni, l’angolo medio di questo mosaico è 5  /7. D’altra parte in ogni vertice si incontrano 3 di tali angoli e quindi l’ampiezza media degli angoli a ogni vertice è di 2  /3: dato che ogni angolo del mosaico appartiene a un certo vertice, l’ampiezza media degli angoli del reticolo è 2 /3. 
Si ha quindi 5  /7 = 2  /3, cioè 2/3 = 5/7 e in definitiva 14 = 15: come volevasi dimostrare.
Trovare l’errore in questa dimostrazione.

professor-rackbrane

Illustrazione originale del problema di Dudeney

I quattro sette
Quello che segue è un problema del massimo esperto inglese di giochi matematici, Henry Ernest Dudeney,

“Il disegno qui a fianco, presenta il Professor Rackbrane mentre illustra uno dei suoi quesiti con i quali è solito intrattenere la sua classe. Egli ritiene che portare i suoi studenti fuori dai sentieri battuti, sia il modo migliore per ottenere la loro attenzione e per favorire ragionamenti originali e ingegnosi. Come si vede, ha appena fatto vedere come sia possibile ottenere 100 con quattro cinque, utilizzando alcuni semplici segni aritmetici. Qualsiasi giovane lettore può verificare che l’esempio è corretto. Ora, com’è possibile ottenere 100 con quattro sette? Se avesse chiesto di usare quattro 9, avremmo potuto scrivere 99 + 9/9, ma con i quattro sette, come si fa?”

Per risolvere il problema è necessario conoscere la notazione inglese, …leggermente diversa dalla nostra. Altrimenti è necessario usare anche lo zero oltre al 7.
Si allarghi la ricerca scrivendo tutti i numeri da 1 a 10, con sette 7.

Sette minuti per andare alla stazione
Questo problema arriva dal libro di Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Sansoni, 1983, purtroppo esaurito.
Ogni minuto dal centro di una città parte una vettura che va alla stazione in 7 minuti e poi ritorna. Una vettura che va dal centro alla stazione quante vetture incontrerà?

Di sette in sette
Ancora un problema di Peano, ripreso da un antico problema di Fibonacci.
Una contadina porta delle uova al mercato. Sa che contandole a 2 a 2 ne avanza 1, contandole a 3 a 3 ne avanza 1, a 4 a 4 ne avanza 1, a 5 a 5 ne avanza 1, a 6 a 6 ne avanza 1 e contandole a 7 a 7 ha un numero esatto. Quante uova ha la contadina?

Le sette monete
image033Sette monete devono essere collocate su sette degli otto vertici della stella in modo che ogni moneta venga posta su una linea libera, ossia su una linea ai cui estremi non ci siano altre monete. Ad esempio, possiamo partire con una moneta sul vertice 1 e blocchiamo in tal modo le linee 1 – 4 e 1 – 6, con una moneta sul vertice 2 blocchiamo le linee 2 – 5 e 2 – 7, con la moneta su 3, le linee 3 – 6 e 3 – 8, con la moneta su 4, la linea 4 – 7 e con la moneta su 5, la linea 5 – 8. A questo punto non ci sono più linee libere, e siamo fuori gioco poiché abbiamo collocato soltanto cinque delle sette monete previste.
Come si risolve il gioco e qual è la strategia da seguire per riuscire a collocare tutte e sette le monete?

Quattro esagoni per sette figure

image034

Quattro esagoni possono essere collegati tra loro, in modo che siano uniti almeno per un lato, in sette modi diversi. Uno è in figura. Quali sono le altre sei configurazioni possibili?

Il Carro dell’Orsa Maggiore

image035

Nel disegno si vedono le sette stelle del Carro dell’Orsa Maggiore. Tracciare tre rette in modo da dividere il rettangolo in sette parti, ognuna delle quali contenga una sola stella.

Risposte

14 = 15?

image036La figura seguente mostra una pavimentazione a ettagoni del piano; gli ettagoni non sono congruenti (è facile dimostrare che non esiste alcuna pavimentazione del piano con poligoni congruenti con più di 6 lati), ma in ogni vertice si incontrano tre spigoli.

L’errore nel ragionamento descritto nel testo è dovuto alla non “uniformità” di questa pavimentazione, per cui diviene rilevante l’ordine con cui si considerano tali angoli.
La media dei termini di una successione infinita dipende dall’ordine in cui vengono assunti, ad esempio, la media di 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, … tende a 1/2, mentre tende a zero se gli stessi numeri sono distribuiti come segue:
1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, …

Consideriamo ad esempio la zona limitata dalla circonferenza nella figura seguente: essa contiene 35 vertici e dunque 105 angoli; la media di tali angoli è

image039

Consideriamo ora gli ettagoni interamente contenuti nella zona; essi sono 8, per un totale di 56 angoli; la media è

image043

Si noti che i 49 angoli “persi” non sono in alcun senso “equivalenti” agli altri in quanto il loro valore complessivo è dato da

image045

e dunque la loro media è (30/49), considerevolmente più piccola di (2/3) .
La non uniformità è dovuta al fatto che tutti gli ettagoni tranne quello centrale hanno 2 oppure 3 angoli verso il centro e 5 oppure 4 angoli dalla parte opposta.

I quattro sette
Il modo più semplice per scrivere 100 con quattro 7 è il seguente: (7/’7) x (7/’7)
Questo però con la notazione inglese. 
Noi scriviamo invece (7/0,7) x (7/0,7) che corrisponde a

image047

Alcune delle soluzioni possibili del problema più generale, sette 7 per i numeri da 1 a 10, sono le seguenti:

50

Sette minuti per andare alla stazione
13 (e non 7 né 14, poiché 14 sono le vetture che fanno servizio e una di esse incontra le altre 13.

Di sette in sette
301, ovvero 301 più un multiplo di 420

Le sette monete
Nella soluzione del gioco delle monete sulla stella si deve cercare, ad ogni mossa, di bloccare il minor numero possibile di linee. Ad esempio, partendo con la prima moneta in 1 si bloccano due linee: 1 – 4 e 1 – 6. A questo punto si deve collocare la seconda moneta su 4 oppure su 6, perché in questo modo viene bloccata soltanto un’altra linea. Ad esempio, occupando il vertice 4 viene bloccata soltanto una nuova linea, la 4 – 7, poiché la 4 – 1 era gi bloccata. La terza moneta potrà essere collocata su 6 oppure su 7 e così via.
Ogni moneta, a parte la prima, ha due possibilità, poiché può essere collocata su due diversi vertici e quindi le soluzioni possibili sono 26, cioè 64. Se si tiene presente che la prima moneta può essere collocata su uno qualsiasi degli otto vertici della stella, le soluzioni possibili diventano 8 x 64 = 512.

Il Carro dell’Orsa Maggiore

image049

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Per saperne di più

Le pagine di Richard Phillips dedicate ai numeri:
http://richardphillips.org.uk/number/
Altre pagine dedicate al sette:
http://www.umich.edu/~brinck/digits/seven.html
http://theosophy.org/tlodocs/hpb/NumberSeven.htm
Un’analisi accurata sul numero sette come limite di attenzione della maggior parte delle persone:
http://www.well.com/user/smalin/miller.html
Il numero sette nella Bibbia:
http://www.biblewheel.com/Topics/Seven.asp
http://www.yfiles.com/seven.html
Il numero sette in Giappone:
http://www.luckymojo.com/number7.html
Il numero sette nell’Islam:
http://www.wadsworth.com/religion_d/special_features/symbols/islamic.html
La presentazione dell’ettagono:
http://mathworld.wolfram.com/Heptagon.html
Le proprietà dell’ettagono:
http://mathforum.org/library/drmath/view/51702.html
La biografia di Hugo Steinhaus: 
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Steinhaus.html
La biografia di H. E. Dudeney:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dudeney.html

 

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Federico Peiretti  Liceo Classico CAVOUR, Torino

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